Простейшие способы обработки опытных данных

---

7

Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Простейшие способы обработки опытных данных.

Выполнила студентка 5курса

математического факультета

О.И. Окуловская

/подпись/

Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Л.В. Ончукова

/подпись/

Рецензент:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Л.В. Караулова

/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И.Варанкина

/подпись/ << >>

Киров

2003

Оглавление.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

§1.Простейшие способы обработки опытных данных . . . . . . . . . . . 4

1.1.Подбор параметров способом средних . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.Подбор параметров способом наименьших

квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§2.Применение простейших способов обработки опытных

данных к конкретным процессам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.Применение простейших способов обработки опытных данных к математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Применение простейших способов обработки

опытных данных к физической модели . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Применение простейших способов обработки опытных данных к реальному процессу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Введение.

Данная тема не достаточно широко освещена в математической литературе.В математической статистике при обработке опытных данных чаще всего применяются способ средних и способ наименьших квадратов.

В настоящее время эти способы широко применяются при обработке количественных результатов естественно-научных опытов, технических данных, астрономических и геодезически наблюдений и измерений.

Также возможно применение этих способов при обработке полученных практическим путем данных физических процессов. Например, изучая силу тока в проводниках с постоянным сопротивлением, мы можем зафиксировать значение силы тока при определенном напряжении, то есть не во всех точках, а в небольшом количестве. Применяя способ средних и способ наименьших квадратов, мы имеем возможность с помощью полученных точек подобрать такую функцию, которая бы наиболее близко проходила через эти точки. Это позволяет более полно использовать информацию из наблюдений.

Цели данной работы:

Овладение простейшими способами обработки опытных данных.

С помощью способа средних и способа наименьших квадратов для экспериментально найденных функционально зависимых величин подобрать функцию, которая наиболее точно описывала бы данный процесс.

Применить описанные методы для описания реальных процессов.

§ 1. Простейшие способы обработки опытных данных.

1.1. Подбор параметров способом средних.

Способ средних основывается на допущении, что наи-более подходящей линией служит та, для которой алгебраическая сумма укло-нений равна нулю. Для того чтобы найти этим способом неизвестные постоян-ные в эмпирической формуле, сначала подставляем в эту формулу все пары наблюдавшихся или замеренных значений x и y и получаем столько уклонений, сколько пар значений (x ; y) в таблице (уклонения--вертикальные расстояния от данных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения по группам, составляя столько групп, сколько неизвестных параметров эмпи-рической формулы надо найти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений по каждой группе, получим систему линейных уравнений относительно пара-метров.

a) Частный случай.S = A*t^q.

t	t1	t2	t3	t4	. . .	. . .	tn
S	S1	S2	S3	S4	. . .	. . .	Sn

Уклонения имеют вид = A*t^q - S. Подставляя значения S и t , взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему урав-нений относительно параметров A и q:

(l<n)

Решение этой системы затруднительно. Поэтому без большей потери в точности, можно приравнять нулю сумму уклонений логарифма S, то есть

= lg A + q * lg T - lg S.

Тогда система примет вид

(l<n)

Из системы и определяют q и S.

b) Частный случай . S = a₀ + a₁*t + a₂ *t².

t	t1	t2	t3	t4	. . .	. . .	tn
S	S1	S2	S3	S4	. . .	. . .	Sn

Уклонения имеют вид = a₀ + a₁ * t + a₂ * t² - S . Подставляя значения S и t , взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему

урав-нений относительно параметров a_0, a_1, a₂ :

(l<m<n)

Из системы и определяют a_0, a_1, a₂.

1.2.Подбор параметров способом наименьших квадратов.

На практике часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функционально связанных величин x и y известны n пар соответствующих значений ,которые могут быть представлены в виде таблицы

x	x1	x2	x3	. . .	xn
y	y1	y2	y3	. . .	yn

Требуется в наперед заданной формуле y = f(x,₁, ₂, …,_m) определить m параметров ₁, ₂, …,_m (m < n) так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы известные n пар значений x и y.

Оценки параметров ₁, ₂, …,_m определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений значений y, вычисленных по формуле, от заданных, то есть

L = [f (x_k,₁, ₂, …,_m) - y_k ] ²

принимала наименьшее значение. Поэтому сам способ получил название способа наименьших квадратов.

Это условие дает систему m уравнений, из которых определяются ₁, ₂, …,_m:

?L/?₁=0,

?L/?₂=0 , (1)

. . . . . .

?L/?_m=0.

На практике заданную формулу y = f(x,₁, ₂, …,_m) иногда прихо-дится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать (при подборе параметров в формулах y=A*e^ct и y=A*t^q).

a) Частный случай. y = A e^ct.

Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую x и y, предвари-тельно логарифмируют и заменяют формулой

lg y = lg A + c*lg e*x .

Продифференцировав величину L по A и c и приравняв нулю, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными A и c.

(2)

Система (2) примет следующий вид:

(2)

Для определения коэффициентов (2) удобно составить вспомогательную таблицу:

k	xk	xk2	lg yk	xk*lg yk
1	x1	x12	lg y1	x1*lg y1
2	x2	x22	lg y2	x2*lg y2
…	…	…	…	…
n	xn	xn2	lg yn	xn*lg yn

Из системы (2) определяют c и A .

б) Частный случай. y=A*x^q.

Эту формулу также предварительно логарифмируют и заменяют следующей:

lg y = lg A + q * lg x.

Система (1) теперь примет вид

(4)

Вспомогательная таблица имеет вид

k	lg xk	lg2 xk	lg yk	lg xk * lg yk
1	lg x1	lg2 x1	lg y1	lg x1 * lg y1
2	lg x2	lg2 x2	lg y2	lg x2 * lg y2
…	…	…	…	…
n	lg xn	lg2 xn	lg yn	lg xn * lg yn
?

Из системы (3) определяют A и q.

22

§2. Применение простейших способов обработки опытных данных к конкретным процессам.

2.1.Применение простейших способов обработки опытных данных к математической модели .

Задача 1. На рисунке 1 изображена индикаторная диаграмма (упрощенная) паровой машины

S

A

10 B

C

70 t

рис.1

Точки кривой ВС соответствуют значениям из таблицы 1:

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,41	7,21	6,29	5,56	4,96	4,47	4,06

Нужно, используя способ средних и способ наименьших квадратов, найти

такую функцию, график которой наиболее приближен к данным точкам.

Способом средних подберем функцию вида S = A*t^q , отвечающую

таблице 1. Уклонения имеют вид д`= lg A + q*lg t - lg S.Подставив

онкретные значения S и t, получим:

д`₁= lg A + 1,5441*q - 1,0000 ,

д`₂= lg A + 1,6021*q - 0,9248 ,

д`₃= lg A + 1,6532*q - 0,8579 ,

д`₄= lg A + 1,6990*q - 0,7987 ,

д`₅= lg A + 1,7404*q - 0,7451 ,

д`₆= lg A + 1,7782*q - 0,6955 ,

д`₇= lg A + 1,8129*q - 0,6503 ,

д`₈= lg A + 1,8451*q - 0,6085 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получаем систему уравнений для определения параметров А и q:

4*lgA + 6,4984*q = 3,5814 ,

4*lgA + 7,1766*q = 2,6994 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017,02 . Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 1017,02 * t -^1,3 .

t	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,41	7,22	6,29	5,56	4,97	4,47	4,06

Ошибка составляет: У (Д S_i)² = 0,01² + 0,01² = 0,0002 .

Способом наименьших квадратов подберем степенную функцию

вида S = A*t^q , отвечающую таблице 1.

Составим вспомогательную таблицу:

K	xk = lg Sk	xk2	yk = lg Sk	xk * yk
1	1,5441	2,3842	1,0000	1,5441
2	1,6021	2,5667	0,9248	1,4816
3	1,6532	2,7331	0,8579	1,4183
4	1,6990	2,8866	0,7987	1,3570
5	1,7404	3,0290	0,7451	1,2968
6	1,7782	3,1620	0,6955	1,2367
7	1,8129	3,2866	0,6503	1,1789
8	1,8451	3,4133	0,6085	1,1227
?	13,6748	23,4516	6,2808	10,6362

Получаем систему уравнений:

13,6748*q + 8*lgA = 6,2808 ,

23,4516*q + 13,6748*lgA = 10,6362 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 1017*t -^1,3 .

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,42	7,22	6,29	5,56	4,96	4,48	4,06

Ошибка составляет: У (Д S_i)² = 0,01² + 0,01² +0,01²= 0,0003 .

Способом наименьших квадратов подберем показательную

функцию S = A*e^ct, отвечающую таблице 1.

Составим вспомогательную таблицу:

K	T	t2	y=lgSk	T*y
1	35	1225	1,0000	35,0000
2	40	1600	0,9248	36,9920
3	45	2025	0,8379	38,6055
4	50	2500	0,7987	39,9350
5	55	3025	0,7451	40,9805
6	60	3600	0,6955	41,7300
7	65	4225	0,6503	42,2695
8	70	4900	0,6085	42,5950
?	420	23100	6,2808	318,1075

Получаем систему уравнений:

420*c*lg e + 8*lg A = 6,2808 ,

23100*c*lg e + 420*lg A = 318,1063 .

Решение этой системы c = - 0,026 , A = 23,27 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 23,27 * e - ^0,026*t .

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	9,39	8,25	7,25	6,37	5,59	4,91	4,32	3,79

Ошибка составляет:

У (Д S_i)² = 0,3721 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0064 + 0,0009 + 0,0025 +

+ 0,0729 = 0,5045.

Таким образом, кривую ВС для заданных значений t и S

(таблица 1) наиболее точно описывает степенная функция вида

S = A*t^q , найденная с помощью способа средних.

2.2.Применение простейших способов обработки опытных данных

к физической модели .

Задача 2. На рисунке 2 представлена индикаторная диаграмма

дизельного двигателя

Рис.2

Адиабата ВС соответствует значениям таблицы 2:

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,21	10,64	8,39	6,87	5,77	4,95	4,32

Адиабата AD соответствует значениям таблицы 3:

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	13,73	7,94	5,39	3,99	3,12	2,53	2,11	1,8	1,56

Требуется с помощью способа средних и способа наименьших

квадратов для адиабат AD и BC найти такие функции, графики которых

наиболее приближены к данным точкам.

Рассмотрим адиабату ВС.

Способом средних подберем функцию вида S = A*t^q , отвечающую

таблице 2. Уклонения имеют вид д`= lg A + q*lg t - lg S.Подставив

конкретные значения S и t, получим:

д`₁= lg A + 0,6021*q - 1,5441 ,

д`₂= lg A + 0,7782*q - 1,3151 ,

д`₃= lg A + 1,9031*q - 1,1526 ,

д`₄= lg A + 1,0000*q - 1,0269 ,

д`₅= lg A + 1,0792*q - 0,9238 ,

д`₆= lg A + 1,1461*q - 0,8370 ,

д`₇= lg A + 1,2041*q - 0,7612 ,

д`₈= lg A + 1,2553*q - 0,6946 ,

д`₉= lg A + 1,3010*q - 0,6355 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров А и q:

5*lg A + 4,3626*q = 5,9625 ,

4*lg A + 4,9065*q = 2,9283 .

Решение этой системы q = -1.3 , A = 212.22 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 212.22*t - ^1,3 .

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,22	10,64	8,39	6,87	5,77	4,95	4,32

Ошибка составляет: У (Д S_i)² = 0,01² = 0,0001 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида S = A*t^q , которая отвечает таблице 2.

Составим вспомогательную таблицу:

K	xk = lg tk	xk2	yk = lg Sk	xk*yk
1	0,6021	0,3625	1,5441	0,9297
2	0,7782	0,6056	1,3151	1,0234
3	0,9031	0,7028	1,1526	1,0412
4	1,0000	1,0000	1,0269	1,0269
5	1,0792	1,1647	0,9238	0,9970
6	1,1461	1,3135	0,8370	0,9593
7	1,2041	1,4499	0,7612	0,9166
8	1,2553	1,5758	0,6946	0,8710
9	1,3010	1,6926	0,6355	0,8268
?	9,2690	9,9802	8,8907	8,5928

Получаем систему уравнений:

9,2690*q + 9*lgA=8,8907 ,

9,9802*q + 9,2690*lgA=8,5928 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 212,21 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 212,21*t -^1,3 .

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,22	10,65	8,39	6,87	5,77	4,95	4,31

Ошибка составляет: У (Д S_i)² = 0,01² + 0,01² = 0,0002 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*e^ct, отвечающую таблице 2.

Составим вспомогательную таблицу:

K	t	t2	y = lg Sk	T * y
1	4	16	1,5441	6,1764
2	6	36	1,3151	7,8906
3	8	64	1,1526	9,2232
4	10	100	1,0269	10,2690
5	12	144	0,9238	11,0856
6	14	196	0,8370	11,7180
7	16	256	0,7612	12,1792
8	18	324	0,6946	12,5028
9	20	400	0,6355	12,7100
?	108	1536	8,8907	93,7548

Получаем систему уравнений:

108*c*lg e + 98*lg A=8,8907 ,

1536*c*lg e + 108*lg A=93,7548 .

Решение этой системы c = - 0,124 , A = 41,05 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 41,05*e - ^0,124*t .

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	25,39	19,97	15,71	12,36	9,72	7,64	6,01	4,73	3,72

Ошибка составляет:

У(Д S_i)² = 9,61² + 0,69² + 1,5² + 1,72² + 1,33² + 0,78² + 0,33² + 0,02² +

+ 0,26² + 0,43² = 10,6719 .

Рассмотрим адиабату AD.

Способом средних подберем функцию вида S = A*t^q , отвечающую

таблице 3. Уклонения имеют вид д`= lg A + q*lg t - lg S.Подставив

конкретные значения S и t, получим:

д`₁ = lg A + 0,3010*q - 1,5441 ,

д`₂ = lg A + 0,6021*q - 1,1377 ,

д`₃ = lg A + 0,7782*q - 0,8998 ,

д`₄ = lg A + 0,9031*q - 0,7316 ,

д`₅ = lg A + 1,0000*q - 0,6010 ,

д`₆ = lg A + 1,0792*q - 0,4942 ,

д`₇ = lg A + 1,1461*q - 0,4031 ,

д`₈ = lg A + 1,2041*q - 0,3243 ,

д`₉ = lg A + 1,2553*q - 0,2553 ,

д`₁₀ = lg A + 1,3010*q - 0,1931 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров А и q:

5*lgA + 3,5844*q = 4,9142 ,

5*lgA + 5,9867*q = 1,6700 .

Решение этой системы q = -1,35, A = 89,125 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 89,125*t - ^1,35 .

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	34,.96	13,72	7.94	5.38	3.98	3.11	2.53	2.11	1.8	1.56

Ошибка составляет:

У(Д S_i)² = 0,04² + 0,01² + 0,01² + 0,01² + 0,01² = 0,002.

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*t^q , которая отвечает таблице 3.

Составим вспомогательную таблицу:

K	xk = lg tk	Xk2	yk = lg Sk	xk * yk
1	0,3010	0,0906	1,5441	0,4648
2	0,6021	0,3625	1,1377	0,6850
3	0,7782	0,6056	0,8998	0,7002
4	0,9031	0,8156	0,7316	0,6607
5	1,0000	1,0000	0,6010	0,6010
6	1,0792	1,1647	0,4942	0,5333
7	1,1461	1,3135	0,4031	0,4620
8	1,2041	1,4499	0,3243	0,3905
9	1,2553	1,5758	0,2553	0,3205
10	1,3010	1,6926	0,1931	0,2512
?	9,5701	10,0708	6,5842	5,0692

Получаем систему уравнений:

9,5701* q + 10 * lg A=6,5842 ,

10,0708 * q + 9,5701 * lg A=5.0692 .

Решение этой системы q = -1,35 , A = 89,32 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 89,32*t -^1,35 .

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35,02	13,75	7,95	5,39	3,99	3,12	2,53	2,12	1,8	1,57

Ошибка составляет:

У (Д S_i )² = 0,04² + 0,02² + 0,01² + 0,01² + 0,01² = 0,0023 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*e^ct, отвечающую таблице 3.

Составим вспомогательную таблицу:

K	t	t2	y = lg Sk	t*y
1	2	4	1,5441	3,0882
2	4	16	1,1377	4,5508
3	6	36	0,8998	5,3988
4	8	64	0,7316	5,8528
5	10	100	0,6010	6,0100
6	12	144	0,4942	5,9304
7	14	196	0,4031	5,6434
8	16	256	0,3243	5,1888
9	18	324	0,2553	4,5954
10	20	400	0,1931	3,9520
?	110