Применение алгоритмического метода при изучении неравенств
56
Содержание.
Введение.
Часть 1
§1 Из истории алгоритмов.……………………………………align="left">· у=0,1х2+3х-6
3. Изобразите схематично параболу, которая на
· промежутке (-?;-3] убывает, а на промежутке [-3;+ ?) возрастает;
· промежутке (-?;6] возрастает, а на промежутке [6;+ ?) убывает;
4. При каких значениях х , функция принимает положительные значения
· f(x)=-x2+4x-2;
· f(x)=3х2+2х-1;
5. При каких значениях х , функция принимает отрицательные значения
· f(x)=-х2+4х-1;
· f(x)=4x2+2x-1;
2. Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя.
После этого начинается работа с объяснительным текстом. Каждый ученик самостоятельно изучает этот текст. Это предполагает активную работу мысли ученика. Текст составлен таким образом, чтобы учащиеся в меру возможностей самостоятельно выводили формулы, находили нужные приёмы решения задачи.
Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства
2х2-3х+1?0, -3х2+4х+5<0 являются квадратными.
Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство - найти все его решения или установить, что их нет.
Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения.
Например, решим с помощью свойств графика квадратичной функции неравенство 2х2-х-1?0
График квадратичной функции у=2х2-х-1 - парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём точки пересечения этой параболы с осью ох, для этого решим квадратное уравнение 2х2-х-1=0. Корни уравнения х1=1, х2=-0.5
Следовательно парабола пересекает ось ох в точках х1=1, х2=-0.5
Покажем схематично как расположена парабола в координатной плоскости.
х
Из рисунка видно, что неравенству 2х2-х-1?0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функций равны нулю или отрицательны то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка
[-0.5;1].
Ответ: -0.5?х?1
График этой функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знакомом неравенства, из рисунка видно, что:
1) решениями неравенства 2х2-х-1 < 0 являются числа интервала -0.5<х<1
2) решениями неравенства 2х2-х-1 > 0 являются все числа промежутков
х<-0.5 и х>1.
3) решениями неравенства 2х2-х-1 ? 0 являются все числа промежутков
х ?-0.5 и х ? 1.
После работы с объяснительным текстом учащиеся получают «нулевые» задания. Они предназначены для самоконтроля и к ним предлагаются правильные ответы. Если ответы учеников не совпали с данными ответами, то придётся повторно прочитать объяснительный текст и снова выполнить «нулевые» задания, устранив ошибки.
10 Решите неравенства:
а) 4х2-5х+6х<0,2(10х2+15)
1. Приведите неравенство к квадратному виду .
2 Выясните имеет ли выражение, стоящее в левой части корни.
(Решите уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю.)
Заполните таблицу
|
Д>0 |
Д<0 |
Д=0 |
||
|
Количество корней |
||||
Найдите и отметьте корни на числовой оси(корни разбивают числовую ось на промежутки) |
||||
|
Изобразите схематично параболу |
||||
Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ. |
||||
Аналогично решите неравенства
b) х2+2х+1?0 (Заполните таблицу)
c) -х2+х-1?0 (Заполните таблицу)
3. Формулировка алгоритма.
20. Сформулируйте этапы решения квадратных неравенств (графическим методом).
Ответы:
1. а)1<х<1.5
b) х - любое число;
c) нет решения.
2. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной (графическим методом)
1.Перенесите все слагаемые в левую часть и решите уравнения, приравняв выражение в левой части к нулю (найдите дискриминант квадратного трёхчлена, и выясните, имеет ли трёхчлен корни).
2. Если трёхчлен имеет корни, то отметьте их на оси абсцисс и через отмеченные точки проведите схематично параболу ветви которой направлены вверх при а>0 или вниз при а<0, если трёхчлен не имеет корней, то схематично изобразите параболу, которая расположена в верхней полуплоскости при а>0 или в нижней полуплоскости при а<0.
3. Найдите на оси ОХ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси ох (если ах2+вх+с>0) или ниже оси ох (если ах2+вх+с<0).
4.Запишите ответ, взяв эти промежутки в объединение.
II Усвоение.
Составной частью работы с алгоритмом является система упражнений, предназначенных для осознания учащимися изучаемого материала, более глубокого его усвоения, формирования необходимых понятий. По ходу выполнения упражнений в задачах даются дополнительные разъяснения, а к наиболее трудным - ответы.
1. Приведите неравенства к квадратному виду
1) у2+5у2-3у>5(у+1)
2) 0.2(z+4)-0.8?1.2z+2
3) 6+m2+m<m(2m2-6)
2.(устно) Используя график функции у=ах2+вх+с (см рис). указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения равные нулю.
у у у
-3
3. Построить график функции f(x) (схематично). Определить по графику значения х при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения.
1)
2)
3)
4.Решите графически неравенства
1)
2)
3)
4)
4. Найдите, при каких значениях х трёхчлен
· принимает положительные значения;
· принимает отрицательные значения;
5. Решите неравенства.
a) х2<16;
b) х2?3;
c) 0,2х2 >1,8;
d) -5х2?х.
6.Найдите множество решений неравенств:
a) 3х2+40х+10<-х2+11х+3;
b) 9х2-х+9?3х2+18х-6;
c) 2х2+8х-111<(3х-5)(2х+6).
7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
a) 4х2+12х+9?0;
b) -5х2+8х-5<0.
III.Применение алгоритма
На этом этапе работы с алгоритмом задания предлагаются аналогичные рассмотренным, но с постепенным усложнением. В ходе решения учитель проверяет правильность понимания учащимися изученного вопроса, уточняет формулировки, разъясняет допущенные ошибки.
1.Решите неравенство.
1)
2)
3) 2x (3x-1)>4x2+5x+9
4) (5x+7)(x-2)<21x2 -11x-13
2. Найдите общее решение неравенств х2+6х-7 ? 0 и х2-2х-15 ? 0
3.Докажите, что:
· х2+7х+1>-x2+10x-1 при любом х;
· -2х2+10х<18-2x при х?3.
4. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 см2.
5. Найдите область определения функции.
· у = 12х-3х2
· у = 1/ 2х 2 -12х+18
После того как учащиеся познакомились с графическим методом, предлагается метод интервалов - как ещё один из способов решения квадратных неравенств.
Формирование алгоритма решения квадратных неравенств с одним неизвестным (методом интервалов) можно осуществить аналогичным образом.
Алгоритм решения неравенства второй степени c одним неизвестным (методом интервалов).
1. Раскройте скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).
2. Перенесите все слагаемые в левую часть, приведите подобные члены (если нужно).
3. Решите уравнения, приравняв выражение в левой части к 0 (найдите дискриминант и выясните, имеет ли трёхчлен корни).
4.Найденные корни уравнения нанесите на числовую ось. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом, из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак.
5. Выберите на каждом из промежутков какое - нибудь значение (пробную точку) и определите знак выражения в этой точке.
6. Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ, взяв их в объединение.
1. Актуализация знаний
1. ах2+вх+с=0
1) Решите квадратное уравнение.
2) Разложите левую часть уравнения по формуле ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), где х1,х2 - корни данного уравнения.
2.Найдите корни уравнения, разложите уравнение по корням, отметьте корни на числовой оси.
·
·
3.Разложите многочлен на множители
·
·
II Усвоение
1. Сведите следующие неравенства к квадратному.
1)
2)
3)
2. Найдите при каких значениях х трёхчлен
· принимает положительные значения;
· принимает отрицательное значения;
3. Решите неравенства
4. Длина прямоугольника на 5 см. больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36см2.
5. При каких значениях х функция у= - х2 + 8х + 2 принимает значения больше 9.
6. Разложите многочлен на множители.
·
·
·
7. Решите неравенство методом интервалов.
·
·
·
·
·
·
8. Найдите область определения выражения.
1)
2)
9. Решите неравенство
1)
2)
3)
III.Применение алгоритма
1. Решите неравенство.
1)
2)
3)
4)
2. Найдите общее решение х2+6х-7 ? 0 и х2-2х-15 ? 0
3.Решите систему неравенств.
1)
2)
3)
4.Катер должен не более чем за 4 часа пройти по течению реки 22,5км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения равна 3км/ч.
5.Решите неравенство методом интервалов.
1)
2)
3)
6.Решите неравенство.
1)
2)
3)
§4 Опытное преподавание.
Факультативное занятие в девятом классе (решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной).
Цель:
применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении линейных неравенствах с параметрами.
Задачи:
· расширить кругозор учащихся;
· воспитание внимания, аккуратности, самостоятельности;
· осуществление взаимосвязи теории и практики;
· развитие памяти, логического мышления.
Решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся. Причём часто учащиеся испытывают психологические трудности, «боятся» таких задач, так как не видят связи в их решении с решениями линейных неравенств с одной переменной.
Изучение линейных неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной не возможно без умения решать линейные неравенства с одной переменной. Так как факультатив проводился в 9 классе, а линейные неравенства изучались в восьмом классе, то возникла необходимость актуализировать знания по решению линейных неравенств, вспомнить этапы их решения. Ученикам можно предложить следующее задание.
Решите неравенство 2(х+5)-3?4+3х
Все решают у себя в тетрадях, а один ученик решает у доски. Запись ведёт в два столбика. Решение в одном столбика, а в другом записывают пояснения к своим действиям.
2х+7?4+3х Раскрыли скобки в обеих частях неравенства
2х-3х?4-2 Перенесли слагаемые, содержащие переменную в одну
часть, а не содержащую в другую.
-х?2 Привели подобные члены в каждой части.
х?-2 Разделили обе части неравенства на коэффициент при
переменной (учитывая его знак !).
Отметили соответствующие промежутки на
координатной прямой.
х(-?;-2] Записали числовой промежуток
После того как повторили этапы решения линейных неравенств с одной переменной, учитель предлагает на доске подробный разбор решения неравенства с параметром. Затем ученики вместе с учителем формулируют алгоритм решения линейных неравенств с параметром.
Пример 1. Рассмотрим решение неравенства (а-4)•х<12
Чтобы найти х, обе части неравенства хочется разделить на (а-4). Однако теперь важно положительно, отрицательно или равно нулю выражение (а-4).
Определим знак выражения
Рассмотрим три случая:
a) а-4=0
b) а-4>0
c) а-4<0
1)если а-4=0а=4, то неравенство примет вид 0х<12, которое справедливо для всех хR
2) a-4>0 a>4, то разделим обе части неравенства на положительное выражение (а-4), не меняя знак неравенства, получим х > (используем свойство числового неравенства).
3) a-4<0a<4, то разделив обе части неравенства на отрицательное выражение и поменяв знак неравенства, получим х<.
Ответ:
если а=4, то х R;
если а>4, то х >;
если а<4, то х<.
Таким образом, после разобранного примера учитель формулирует алгоритм, опираясь на знания и умения, учащихся о решении линейных неравенств с одной переменной.
1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.
3. Привести подобные члены в каждой части и получить один из 4 видов неравенств А(а)х<B(a) (**) , А(а)х?B(a), А(а)х>B(a), А(а)х?B(a), где х- переменная, А(а) и В(а) - функции параметра а.
4. Рассмотреть три случая:
1) Найти а, при которых А(а)=0, подставить в неравенство(**) вместо параметра а найденные решения и решить соответствующие неравенства.
2) Найти а, при которых А(а)>0, разделить неравенство(**) на А(а), не меняя его знак.
3) Найти а, при которых А(а)<0, разделить неравенство(**) на А(а), поменяв его знак.
5. Записать ответ.
Пример 2. решить неравенство
3-а•х ? х х+а•х?3 х•(1+а)?3
1) 1+а=0а=-1
Подставляем в неравенство 0•х?3, хR.
2) 1+а>0а>-1
х?
3) 1+а<0а<-1
x?
Ответ: При а=-1, то хR;
а>-1, то х ? ;
а<-1, то x ? .
Пример 3.
х•а2 ? а+хх• (а2-1) ? а
1) а2-1=0(а-1)(а+1)=0 а=1 или а=-1
а = 1; а = -1; х•0 ? 1 неверно
2) а2-1>0 а>1 или a<1, то x ?
3) а2-1>0 a, то x
Ответ: а=1, то хR;
а= -1, то нет решения;
, то x ?;
, то x .
Пример 4.
2а•(а-2) •х а-2
1) 2а•(а-2)=0 а=0 или а=2
а=0 х•0-2 верно
а=2 х•00 неверно
2) 2а•(а-2)>0 а,
то х
3) 2а•(а-2)<0 , то х
Ответ:
а=0, то хR;
а=2, то нет решения;
а, то х;
, то х.
Пример 5.
(а2-9) •ха+3
1) а2-9=0
а=3 и а=-3
а=3 0х6 верно;
а=-3 0х0 верно;
2) ;
3) ;
Ответ:
а=3 , а=-3 то хR;
, то;
, то ;
Пример 6.
а2х-а •х > a-1x• (a2-a) > a-1x•(a• [a-1]) > a-1
1) a• [a-1]=0a=0 и а=1
а=0 0•х>-1 верно
а=1 0•х>0 неверно
2); х>
3)а; х<
Ответ:
а=0, то хR;
а=1, то нет решения;
a, то х>;
, то х<.
Пример 7.
а2•х+4а•х-а-4?0
Ответ:
а=0 , а=-4 то хR;
, то;
, то .
Пример 8.
Ответ:
a<-2 а=2, то нет решения;
а, то х < ;
, то х>.
Примеры для самостоятельного решения:
1)2•а•х+5>а+10•x;
2)a•x+x+1 <0;
3)x+1?a•x+a2;
4)a•x+16?a2-4•x;
5)m•x>1+3•x;
6);
7);
8) (x-1) • (a2-1)>5-4•a;
9)b-3•b+4•b•x<4•b+12•x;
Выводы:
Факультатив “Решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной” был проведён в 9 классе в школе №52 г. Кирова. Цель данного факультатива была достигнута. Применение алгоритмического метода позволило сделать изложение данной темы более доступным, учащиеся научились решать линейные неравенства с параметром осознанно.
Заключение
В ходе исследования были решены следующие задачи:
1) Изучена учебно-методическая литература по применению алгоритмического метода в школе;
2) Рассмотрены следующие вопросы, связанные с алгоритмическим методом: история возникновения алгоритма; определение алгоритма, его свойства, основные этапы алгоритмического процесса и классификация алгоритмов.
3) Разработана методика формирования алгоритмов “Решение алгебраических неравенств 1 и 2 степени с одним неизвестным”.
4) Показано как алгоритмический метод может применяться при решении линейных неравенств с параметром на факультативном занятии.
Литература
1. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. / Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др - М: Просвещение, 1999.
2. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского - М: Просвещение, 2002.
3. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др - М: Просвещение, 1991.
4. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского - М: Просвещение, 1996.
5. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др - М: Просвещение, 1992.
6. 4. Алгебра.8 класс./Под ред. Виленкина Н.Я.- М: Просвещение, 1997.
7. 5.Алгебра.9 класс./Под ред. Теляковского С.А.- М: Просвещение, 1994.
8. 6.Алгебра в 8 кл: Методическое пособие для учителей - М: Просвещение, 1977.
9. 7.Алгебра в 9 кл: Методическое пособие для учителей - М: Просвещение, 1978.
10. Бочарова О. Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной. // Математика в школе - 2002 - №7 - с. 40 - 42.
11. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.И. Математика: Учебник для 5 класса.- М: Мнемозина, 1999.
12. Галицкий М.Л., Гольдман А.Н., Завич Л.И. Курс алгебры 8-го класса в задачах- Львов: Журнал «Квантор», 1991.
13. Горбачёв В.И. Общие методы решения уравнения и неравенства с параметрами не выше 2 степени. // Математика в школе - 2000 - №2 - с. 61-68.
14. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства - М: Наука, 1971.
15. Богушевский К.С., Сикорский К.Л. Сборник задач по математике для повторения.: Пособие для учителей 5-8 классов средней школы -М: Учпедгиз, 1955.
16. Варпаховский К.М. Элементы теории алгоритмов.- М., 1997.
17. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - Киев
18. Ефремов Д.Н. Алгоритмы.- С.-Петербург, 1993.
19. Задачи по математике: Уравнения и неравенства: Справочное пособие. /Вавилов В.В. -М: Наука, 1988.
20. Здоровенко М.Ю.
21. Косовский М.А. Основы теории элементарных алгоритмов. - М.: 1987.
22. Королева Т. Математический тренажёр по алгебре для 7- 9 классов. // Математика в школе - 2001 - №8 - с.12-30.
23. Коровкин П.П. Неравенства М: Гос. изд-во технтко-теоретич. лит., 1951.
24. Кузнецова Л. Методические указания к теме “Неравенства ” // Математика в школе - 2002 - №6 - с.22-32.
25. Кривоногов В. Квадратные неравенства и уравнения. //Математика - 2002 - №3 (16-22 января) - с.15-19.
26. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. /Под ред. Лященко Е.И. - М: Просвещение,1988.
27. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении.- М.: Просвещение, 1966.
28. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 8 кл: учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева - М: Дрофа, 1998.
29. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 9 кл: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева - М: Дрофа, 1998.
30. Математика: Учебник для 5 класса/ Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. - М.: Просвещение, 1994.
31. Методика преподавания математики в средней школе. /Под ред. Мишина В.И. - М.: Просвещение 1987. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. - М.: Просвещение, 1970.
32. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл. : Задачник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина , 2001.
33. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2002.
34. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Задачник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2000.
35. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2000.
36.Мордкович А.Г. Алгебра: Методическое пособие для учителей.- М: Мнемозина, 1997.
37. Невяжский Г.Л. Неравенства. : Методическое пособие для учителей. - М., 1997.
38. Психология. / Под ред. Ковалёва Л.И., Степанова М.П., Шабалина Г.Т.,
Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. - М.: Просвещение, 1970
39. Симонов А. Дидактические материалы для 8-9 классов с углублённым изучением математики. // Математика в школе - 2002 - №7 - с.5-10.
40. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней щколы /сост. Никольская И.Л. - М.: Просвещение, 1991.
Не сдавайте скачанную работу преподавателю!