Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре

Рассмотрим систему , , (1) где – дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Пусть – некоторая траектория системы (1), содержащаяся при в ограниченной области . В дальнейшем будем также предполагать, что в замыкании области . Введём в рассмотрение симметричную не особую матрицу , где –дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции, и дважды непрерывно дифференцируемую вектор-функцию, удовлетворяющую неравенству . Пусть – некоторая симметричная – матрица, –дифференцируемая функция, и –числовые последовательности, удовлетворяющие условиям , , . Здесь и – некоторые числа. Введём также обозначение . Теорема. Пусть выполнено неравенство . Тогда если квадратичная форма на множестве положительно определена и выполнено неравенство , то траектория орбитально асимптотически устойчива. Если квадратичная форма на множестве не вырождена, может принимать отрицательные значения и выполнены неравенства , , , то траектория будет орбитально неустойчивой. Доказательство. Рассмотрим множество . Здесь – некоторое достаточно малое число. Зафиксируем некоторую точку и будем изучать поверхность в некоторой достаточно малой окрестности точки . Из следует, что найдётся число такое, что , . Возьмём число , близкое к . В этом случае . Определим теперь отображение точки в гиперплоскость таким образом, чтобы . (2) При этом число будем выбирать так, чтобы , а матрицу такой, чтобы имело место соотношение (2). Ясно, что . Здесь , считаем, что величина является большой. Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно, чтобы выполнялось равенство . (3) Из соотношения (2) следует, что вектор , нормальный к в точке , может быть определён следующим образом: , где , . Заметим, что . Поэтому . Отсюда и из соотношения (3) получим, что . (4) Покажем теперь, что траектория системы (1), проходящая в момент времени через точку , удовлетворяет с точностью до соотношению . (5) Для этого отметим, что при малых . Поэтому вектор с точностью до принадлежит гиперплоскости , которая параллельна гиперплоскости, касательной к поверхности , и проходит через точку . Ясно также, что проходит через расположенную в гиперплоскости точку , где . Отсюда, из соотношения и того факта, что векторы, нормальные к и в точке , совпадают с точностью до , следует соотношение (5). Из включения (5), равенства (4) и условия 1) теоремы вытекает при всех соотношение , где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству . Используя это неравенство, условия 2), 3) теоремы и стандартную ляпуновскую технику, получим утверждение теоремы. В случае , , , , получим широко известный признак Пуанкаре. Список использованных источников Демидович Б. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. , 1970. Леонов Г. А. Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре. // Дифференциальные уравнения, 1988 №9 Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. , 1970.